تفاضل شعاعي

Poll without page-refresh

Article on other languages:

التفاضل الشعاعي (كما يطلق عليه أيضاً التحليل الشعاعي) هو فرع من علم الرياضيات يهتم بعمليات التحليل المختلفة للأشعة ولفضاء الجداء الداخلي لبعدين أو أكثر (بعض النتائج التي تنتج من الجداء الخارجي من الممكن أن تطبق فقط في الفضاء الثلاثي الأبعاد). يتكون هذا الفرع من عدد من الصيغ الرياضية وطرق لحل المسائل وهو فرع هام جداً في الهندسة والفيزياء. يعود أصل علم التحليل الشعاعي إلى تحليل الرموز الرباعية وتمت صياغته من قبل العالم والمهندس الأمريكي ويلارد غيبس والمهندس البريطاني أوليفر هيفيسايد.

يهتم التفاضل الشعاعي بالحقول السلمية والتي تربط القيمة السلمية بكل نقطة في الفضاء، والحقل الشعاعي الذي يربط كل شعاع إلى كل نقطة في الفضاء. على سبيل المثال، إن حرارة قيمة الضغط الهواء على سطح الأرض يختلف من نقطة لأخرى لذلك يعبر عنها بقيمة سلمية، أما تدفق الهواء والتيارات الهوائية هي عبارة عن قيمة شعاعية في الحقل الشعاعي، ولذلك نربط شعاع السرعة بكل نقطة من الفضاء المدروس.

العمليات على الأشعة

يدرس التفاضل الشعاعي العديد من العمليات التفاضلية معرفة في الحقل الشعاعي أو السلمي، والتي يعبر عنها غالباً على شكل معامل دلتا ( $\nabla$ ). العمليات الرئيسية الأربعة في التفاضل الشعاعي هي:

العملية	الترميز	الوصف	المجال
تدرجGradient	$\operatorname{grad}(f) = \nabla f$	تقيس معدل وجهة التغير في الحقل السلمي.	تسقط الحقل السلمي على الحقل الشعاعي.
تكورCurl	$\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}$	يقيس قابلية الدوران حول نقطة في الحقل الشعاعي.	يسقط الحقل الشعاعي على الحقل الشعاعي.
انحرافDivergence	$\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}$	يقيس ميل المصدر أو المصرف عند نقطة معينة في الحقل الشعاعي.	يسقط الحقل الشعاعي على الحقل السلمي.
لابلاسيانLaplacian	$\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f$	مركب من عمليتي التشعب والتغير.	يسقط الحقل السلمي على الحقل السلمي.

المصفوفة الجاكوبية مفيدة في دراسة التوابع عندما يكون الحقل ومجال التابع معدد المتحولات، مثل تغير المتحولات أثناء التكامل.

نظريات

هناك العديد من النظريات الهامة المرتبطة بالعمليات المذكورة آنفاً. والتي تعمم النظرية الأساسية في التفاضل إلى أبعاد أعلى:

النظرية	النص	الشرح
نظرية التغير Gradient theorem	$\varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}.$	إن التكامل الخطي خلال الحقل الشعاعي يعادل الفرق في قيمه السلمية عند نقطتي النهاية للمنحني .
نظرية جرينGreen's theorem	$\int_{C} L\, dx + M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA$	إن تكامل الدوران السلمي للحقل الشعاعي على منطقة معينة في المستوي يعادل التكامل الخطي للحقل الشعاعي على المنحني المحيط بهذه المنطقة.
نظرية ستوكسStokes' theorem	$\int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},$	إن تكامل الدوران لحقل شعاعي على سطح يعادل التكامل الخطي للحقل الشعاعي على المنحني المحيط لهذا السطح.
نظرية التشعبDivergence theorem	$\iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\part V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S},$	تكامل التشعب لحقل شعاعي على مجسم ما يعادل التكامل للتدفق خلال السطح المحيط بهذا المجسم.